Versão preliminar 3 de fevereiro de 2004

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Versão preliminar 3 de fevereiro de 2004
  Versão preliminar 3 de fevereiro de 2004 Notas de Aula de Física  18. ONDAS II - ONDAS SONORAS...................................................................................2 A VELOCIDADE DO SOM .......................................................................................................2P ROPAGAÇÃO DE ONDAS SONORAS ......................................................................................4I NTENSIDADE E NÍVEL DO SOM ..............................................................................................6F ONTES SONORAS MUSICAIS ................................................................................................6B ATIMENTOS ......................................................................................................................7O E FEITO D OPPLER ............................................................................................................9S OLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS .....................................................................................12 01................................................................................................................................1204................................................................................................................................1305................................................................................................................................1306................................................................................................................................1407................................................................................................................................1410................................................................................................................................1511................................................................................................................................1512................................................................................................................................1613................................................................................................................................1816................................................................................................................................19“19”..............................................................................................................................19“20”..............................................................................................................................2030................................................................................................................................2145................................................................................................................................2246................................................................................................................................23“48”..............................................................................................................................2448................................................................................................................................2549................................................................................................................................25“50”..............................................................................................................................2651................................................................................................................................2654................................................................................................................................2755................................................................................................................................28“69”..............................................................................................................................29“71”..............................................................................................................................29  Prof. Romero Tavares da Silva  Cap 18 www.fisica.ufpb.br/~romero 2 18. Ondas II - Ondas sonoras Ondas sonoras são familiares à nossa existência e faz parte de nosso cotidiano aconvivência com corpos que produzem sons. Esses sons podem ser ruídos de choqueentre dois corpos ou melodias produzidas por instrumentos musicais.As ondas sonoras necessitam de um meio elástico para se propagarem, e nãoexiste essa propagação no vácuo. Num sólido podemos ter ondas longitudinais ou ondastransversais. Como os fluidos (líquidos e gases) não suportam tensão de cisalhamento,apenas as ondas longitudinais se propagam neste meio.  A velocidade do som As ondas se caracterizam por ser um transporte de energia, associado a uma os-cilação da matéria. A energia se propaga através da interação de elementos de volumeadjacentes. Como cada material se caracteriza por um arranjo específico da matéria, ainteração entre os elementos de volume adjacentes se dá de um modo peculiar para cadamaterial que consideremos. Por isso a onda sonora se propaga com uma velocidade dife-rente para cada meio. Em particular, a sua velocidade no ar a 20 0 C  é de v S  = 343m/s  .Uma onda sonora se propaga numa sucessão de compressões e rarefações, e emcada material esses movimentos têm uma característica peculiar. Existe uma grandezaque dá conta dessas variações em um meio: é o módulo volumétrico   da elasticidade   B  ,que leva em conta a variação de pressão e a variação fracional de volume. Ele é definidocomo:      ∆∆−= VVpB e no limite quando ∆ V →   0 , temos que      −= dVdpVB Outro modo de apresentar B  é usando-se a densidade volumétrica de massa ρ   =M/V  ao invés do volume. Temos que       −=−      =           = ρ ρ ρ ρ ρ  ddpVVMddpdVdddpdVdp 2 logo       =⇒      −−= dpdBdpdVVB  ρ ρ ρ ρ  A velocidade do som em um meio elástico é dada por: ρ  Bv  =  Prof. Romero Tavares da Silva  Cap 18 www.fisica.ufpb.br/~romero 3 Para deduzir a equação da velocidade do som, vamos considerar a propagação deum pulso em um tubo longo. Consideremos um fluidode densidade volumétrica ρ    epressão P  preenchendo otubo desenhado ao lado. Numdado instante comprimimosesse fluido movimentando oêmbolo para á direita com ve-locidade u  durante um inter-valo de tempo ∆ t  . O movi-mento do pistão é transmitidoàs moléculas do fluido pelascolisões que elas t = t 0  v ∆ tt = t 0 + ∆ t u ∆ t efetuam com o pistão e pelas colisões entre elas. À medida que as moléculas colidem com a superfície do pistão, elas adquirem veloci-dades maiores que a média, transmitindo através dos choques essa propriedade para asmoléculas adjacentes. A região hauchuriada comporta-se como um pulso propagando-separa a direita. O impulso dado pelo pistãoao volume representado pelaárea hauchuriada será igual àsua variação da quantidade demovimento, ou seja:   1 F !   2 F ! Impulso = I = F ∆ t Mas F = F 1  - F 2  = (p + ∆ p)A - pAF = ∆ p A ou seja: I = (A ∆ p) ∆ t  A variação da quantidade de movimento do volume perturbado é dado por: variação da quantidade de movimento   = ∆ m v onde ∆ m é a massa do fluido que entra em movimento depois de um intervalo ∆ t  emque aconteceu o movimento do êmbolo, ou seja: ∆ m = ρ    ∆ V = ρ   (u ∆ t A)  Considerando que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento, temosque: F ∆ t = ∆ m v ⇒    ∆ p = ρ   v u  Mas o módulo da elasticidade é:  Prof. Romero Tavares da Silva  Cap 18 www.fisica.ufpb.br/~romero 4      −= dVdpVB onde, usando as nossas convenções: ∆ V = V F  - V I  < 0 ∆ V = - (u ∆ t) AV= (v ∆ t) A logo: ρ ρ  BvvuBuvp vuB Atv AtuBVVBp  =∴==∆⇒=       ∆∆−−=∆−=∆  Quando consideramos a propagação de uma onda como um processo adiabáti-co , ou seja: a propagação é um evento tão rápido que não possibilita a troca de calor nomeio, devemos considerar a equação de estado: p V γ   = constante onde: VPVP TUTUcc      ∂∂     ∂∂== γ  Diferenciando ambos os lados da equação de estado, temos que: pdVdpVdVVpdpVpdVVdpV  γ γ γ   γ γ γ  =−∴= +⇒=+  − 00 1 logo: ρ γ ρ γ  pBvpdVdpVB  ==⇒=−= Propagação de ondas sonoras À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar do fluidooscila em torno de sua posição de equilíbrio.Os deslocamentos se realizam para direita e para esquerda sobre a direção x  , naqual a onda se propaga.De modo geral, uma onda progressiva s(x,t)  que se propaga no sentido positivodo eixo x ,  tem a forma: s(x,t) = f(x - vt)  Prof. Romero Tavares da Silva  Cap 18 www.fisica.ufpb.br/~romero 5 Considerando uma onda harmônica progressiva, temos que: s(x,t) = s M  cos(kx -wt)  Vamos considerar umasituação simplificada, mas semperda de generalidade. Num ins-tante t 1  = t 0  dois elementos devolume estão nas suas respecti-vas posições de equilíbrio, e numinstante posterior t 2  =   t 0  + ∆ t eles sofreram os deslocamentosde acordo com a equação anteri-or.onde  x 1  x 2  s 1  s 2 s 1  = s(x 1  , t 2 ) e s 2  = s(x 2  , t 2 ) ∆ x = x 2  - x 1 V = A ∆ x ∆ V = A ( s 2  - s 1 ) = A[s(x 2  , t 2 ) - s(x 1  , t 2 )] ∆ V = A ∆ sVVBpVVpB  ∆−=∆⇒       ∆∆−= Mas 2 vBBv  ρ ρ  =⇒= logo x As AvVVvp ∆∆−=∆−=∆ 22 ρ ρ  e no limite quando ∆ x →   0 ,  teremos:      ∂∂−=     ∂∂−=∆ xsvxsBp 2 ρ  que nos fornece uma relação entre a posição s(x 0  ,t)  de um elemento de volume que tema sua posição de equilíbrio em um ponto genérico x 0  e a variação de pressão ∆ p(x 0  ,t) que está acontecendo nesse ponto x 0  . ∆ p = + ρ   v 2  k s M  sen(kx - wt) onde podemos considerar a variação máxima de pressão ∆ p M  = ρ   v 2  k s M  , teremos: ∆ p = ∆ p M  sen(kx - wt)
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