Universidad de Mendoza PRUEBAS DE HIPÓTESIS

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Universidad de Mendoza PRUEBAS DE HIPÓTESIS
  Universidad de Mendoza Ing. Jesús Rubén Azor Montoya ______________________________________________________________________ Cátedra Estadística Aplicada II 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS En vez de estimar el valor de un parámetro, a veces se debe decidir si una afirmación relativa a un parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar una hipótesis relativa a un parámetro. Ejemplo I: Un fabricante de pintura de secado rápido afirma que el tiempo de secado de la misma es de 20 min. El comprador diseña el siguiente experimento: pinta 36 tableros y decide rechazar el producto si el promedio de tiempo de secado de los mismos supera los 20.75 min. Si por experiencia  =2.4 min, se pregunta cuál es la probabilidad de rechazar la partida aún perteneciendo a una población con media de 20 min. La probabilidad de que el promedio de las muestras exceda 20.75 min a causa del azar se calcula del siguiente modo: zx    n 20.75 20  0.41.875  con esta abscisa, se calcula la probabilidad (área hacia la derecha), resultando 0.0304. Gráficamente: Este gráfico está hecho sobre valores reales, no normalizados. Para los cálculo se usan estos últimos cuando se trabaja con tablas. Entonces, la probabilidad de rechazar erróneamente la hipótesis  =20 min es de aproximadamente 0.03, o bien 3%. Supóngase ahora que la media real del tiempo de secado es  =21 min. Luego, la probabilidad de obtener una media muestral menor o igual que 20.75 (y por lo tanto equivocarse en la aceptación) está dada por: lo que lleva a un área (hacia la izquierda) de 0.2660. Es decir: la probabilidad de equivocarse al aceptar  =20 (a pesar de ser  =21) es del 26.6%. Gráficamente:  Universidad de Mendoza Ing. Jesús Rubén Azor Montoya ______________________________________________________________________ Cátedra Estadística Aplicada II 2 Como resumen se da la siguiente tabla: HIPÓTESIS NULA Y PRUEBA DE SIGNIFICANCIA En el ejemplo se formuló la hipótesis H como una Hipótesis Simple del parámetro   (   especificado por completo) puede hacerse para más de un valor de   (por ejemplo,   < 20 min) esto es una Hipótesis Compuesta. A menudo se formula una hipótesis opuesta a lo que se quiere probar. Por ejemplo, si se quiere determinar el sistema de riego de menor costo de dos, se formula la hipótesis de que los dos sean igualmente costosos. A esta hipótesis se la llama Hipótesis Nula y se denota por Ho. Reformulemos el ejemplo de la pintura: Se rechaza la hipótesis   = 20 min (y se acepta la alternativa   > 20min), si la media de 36 valores muestrales excede 20.75 min, de lo contrario nos reservamos la decisión. Aquí no hay posibilidad de Error de tipo II (por lo de reservar la decisión). El criterio anterior puede ser descrito muy bien como una prueba de si es significativamente más grande que    = 20 min, donde “significativamente más grande” significa que la discrepancia entre y   = 20 min es tal que razonablemente puede atri  buirse al azar. A esta clase de pruebas se las conoce como “ Pruebas Significativas ”.  Para la resolución de problemas en forma sistemática se siguen los preceptos: 1  –   Se formula una Hipótesis Nula simple y una Hipótesis Alterna apropiada que se acepta cuando la Hipótesis Nula debe ser rechazada. En el ejemplo de la pintura, la hipótesis nula es   = 20 min y la alternativa   > 20 min. Esta clase de alternativa se llama Unilateral. Un caso de prueba alternativa Bilateral sería el de un fraccionador de café que desea verificar si en cada frasco de 100 gr hay en realidad 100 gr. La alternativa bilateral es . Al fraccionador no le conviene menos de 100 gr porque puede perder mercado ni más de 100 gr por la pérdida económica.  Universidad de Mendoza Ing. Jesús Rubén Azor Montoya ______________________________________________________________________ Cátedra Estadística Aplicada II 3 Ejemplo: Un fabricante de utensilios está considerando la conveniencia de adquirir una nueva máquina para grabar las piezas de lámina metálica. Si  o es el número promedio de piezas de buena calidad grabadas por hora en su máquina actual y si   es el promedio correspondiente a la nueva máquina, el fabricante quiere probar la hipótesis nula   o contra una alternativa adecuada. ¿Cuál sería la hipótesis si: a)   No quiere comprar una nueva máquina a menos que sea más productiva que aquella con la que trabaja actualmente. b)   Quiere comprar la máquina nueva (la cual ofrece algunas otras características atractivas) a menos que sea menos productiva que la que tiene actualmente? Solución: a) Hipótesis alterna    o (unilateral, cola derecha) y adquirirá sólo si la hipótesis nula puede ser rechazada. b) hipótesis alterna    o (unilateral, cola izquierda) y adquirirá a menos que la hipótesis nula pueda ser rechazada. 2 - Se especifica la probabilidad de un Error de Tipo I si es posible, conveniente o necesario, se puede especificar también las probabilidades de Errores Tipo II, para alternativas particulares. La probabilidad de un Error Tipo I se denomina Nivel de Significación y se fija comunmente en  =0.05 ó  =0.01. No conviene muy chico   porque   se hace muy grande. 3  –   Con base en la distribución muestral de un estadístico apropiado, se construye un criterio para probar la Hipótesis Nula contra la alternativa determinada. 4  –   Se calcula, a partir de los datos, el valor del estadístico sobre el cual se basa la decisión. 5 - Se decide rechazar la Hipótesis Nula, aceptarla o abstenerse de tomar una decisión. HIPÓTESIS RELATIVA A UNA MEDIA Ejemplo I: La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una compañía resulta ser de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas. Si   es la duración media de todos los tubos producidos por la compañía, comprobar la hipótesis  = 1600 contra la hipótesis alternativa     horas con un nivel de significación de 0.05. 1  –   Hipótesis Nula   = 1600 hr. Hipótesis Alternativa   <> 1600 hr. (bilateral) 2 - Nivel de significancia:   =0.05. 3 - Para trabajar con tablas normalizadas, se usa z en lugar de : zx    n    Universidad de Mendoza Ing. Jesús Rubén Azor Montoya ______________________________________________________________________ Cátedra Estadística Aplicada II 4 Por otro lado, será tal que el área bajo la normal a su derecha sea   /2 y será tal que el área bajo la normal a su izquierda sea   /2. Estos dos valores definen las zonas de aceptación y rechazo de la Hipótesis Nula. Según donde caiga el valor de z calculado por la expresión anterior, se producirá la aceptación o rechazo. 4  –   Cálculos: z 1570 1600  120100 2.5   5- Dado que  –  2.5 < -z 0.025  se Rechaza la Hipótesis Nula, luego la duración media de los tubos es significativamente menor que 1600 horas. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico, la media muestral cae fuera de la zona de aceptación: En general, el siguiente cuadro resume las distintas pruebas de hipótesis nulas  =   o que se pueden realizar sobre una media: Ejemplo II: Una empresa de transportes desconfía de la afirmación de que la vida útil promedio de ciertos neumáticos es al menos de 28000. Para verificar se colocan 40 neumáticos en camiones y se obtiene una vida útil promedio de 27463 con una s=1348. ¿Qué se puede concluir con ese dato si la probabilidad de Error Tipo I es a lo sumo 0.01?.  Universidad de Mendoza Ing. Jesús Rubén Azor Montoya ______________________________________________________________________ Cátedra Estadística Aplicada II 5 1  –   Hipótesis Nula   < 28000 Hipótesis Alternativa   > 28000 (unilateral) 2 - Nivel de significancia:   = 0.01. 3-   Para trabajar con tablas normalizadas: zx   sn  además: z   = 2.33 4  –   Cálculos: z 27463 28000  134840 2.52   5- Dado que  –  2.52 < -z 0.01  se Rechaza la Hipótesis Nula, luego la vida útil de los neumáticos es significativamente menor que 28000. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico, la media muestral cae fuera de la zona de aceptación: Si el tamaño de la muestra es pequeño , se desconoce   y proviene de una población normal, se debe utilizar el estadístico t-Student con  =n-1 grados de libertad. Ejemplo III: La duración media de las bombillas producidas por una compañía han sido en el pasado de 1120 horas con una desviación típica de 125 horas. Una muestra de 8 bombillas de la producción actual dio una duración media de 1070 horas. Ensayar la hipótesis  =1120 horas contra la hipótesis alternativa  <1120 horas mediante un nivel de significancia de  =0.05. 1  –   Hipótesis Nula   = 1120 hs. Hipótesis Alternativa   < 1120 hs. (unilateral) 2 - Nivel de significancia:   =0.05. 4-   Para trabajar con tablas normalizadas: tx   sn  con  = n-1=8-1=7 grados de libertad. Además: t   = -1.895 (  =7). 4  –   Cálculos:
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