Un Enfoque Distribucional para la Resolución de Modelos Económicos Dinámicos Lineales: algunos ejemplos

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Un Enfoque Distribucional para la Resolución de Modelos Económicos Dinámicos Lineales: algunos ejemplos
  Un Enfoque Distribucional para la Resolución de Modelos Económicos Dinámicos Lineales: algunos ejemplos  Alejo Macaya ∗   Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Buenos Aires amacaya@econ.uba.ar  Agosto 2005 Resumen El trabajo estudia algunas aplicaciones de la teoría de funciones generalizadas o “distribuciones” para hallar la solución de modelos económicos dinámicos lineales cuando el sistema está sujeto a perturbaciones de política. Mediante funciones generalizadas también se muestra cómo pueden representarse cambios repentinos de variables flujo. Finalmente, con el objetivo de indicar un método pedagógicamente sencillo para resolver modelos que asumen la hipótesis de previsión perfecta, se revisa el método de variación de parámetros de Lagrange. Abstract This paper deals with some applications of the theory of generalized functions or “distributions” to solve linear dynamic economic models when the system is subject to perturbations of change of policy. Is also illustrates how sudden changes in flows can be characterized through generalized functions. Finally, with the purpose of suggesting a simple pedagogical method to solve problems that assume the perfect foresight hypothesis, we review Lagrange’s variation method. JEL Classification: C61, E00. ∗  Deseo agradecer los comentarios realizados por Santiago Acosta Ormaechea a esta versión del trabajo como así también los de Hernán Seoane sobre una primera versión. Cualquier error es responsabilidad del autor.   1 I. Introducción Los modelos económicos dinámicos presentan con frecuencia cambios de tendencias o saltos de las variables endógenas como resultado de perturbaciones exógenas o cambios de régimen. Por ejemplo, las trayectorias del tipo de cambio y del nivel de precios muestran un cambio de tendencia en el modelo de sobrerreacción (“ overshooting  ”) del tipo de cambio de Dornbusch [1976] frente a un incremento anticipado de la cantidad de dinero [Wilson, 1979]. En este mismo modelo la tasa de interés experimenta un salto en el instante en que aumenta la oferta monetaria. Por otro lado, en el modelo de hiperinflación de Cagan [1956] el nivel de precios salta ante un cambio permanente de la cantidad de dinero, en tanto en los modelos de cambio de régimen, como en el de Flood y Garber [1984], se observan también saltos y cambios de tendencias de las variables endógenas. Estas características implican que las soluciones no sean derivables o, incluso, discontinuas, llevando a que el camino de resolución sea por etapas (en algunos casos) o se reduzca al estudio cualitativo del sistema. El objetivo de este trabajo es mostrar cómo puede buscarse e interpretar la solución de estos modelos desde el enfoque de “distribuciones” o funciones generalizadas 1 . Las funciones generalizadas han sido utilizadas por el Profesor Olivera desde mediados de la década del ‘80 en el estudio de diferentes problemas económicos, permitiéndole reformular y ampliar distintos tópicos de teoría económica 2 . En esta nota la utilización de distribuciones es de carácter técnico aunque susceptibles de interpretación. Por otro lado, y con el objetivo de indicar un camino pedagógicamente sencillo para resolver modelos lineales que involucran la hipótesis de previsión perfecta se revisa el método de variación de parámetros de Lagrange. Las técnicas de resolución basadas en transformadas de Laplace [Obstfeld y Rogoff, 1984] u operadores [Sargent, 1987, Leslie, 1993] son otros métodos que pueden aplicarse para resolver este tipo de problemas cuando, por ejemplo, el tiempo es una variable continua. El trabajo esta dividido en tres secciones adicionales y un apéndice al final. La segunda sección presenta el método de Lagrange para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones de contorno. La tercera parte del trabajo ilustra, con los modelos de Dornbusch [1976] y Cagan [1956], la aplicación del método y la introducción de funciones generalizadas como un camino posible para hallar la solución de los mismos. Las interpretaciones de los resultados son sencillas en todos los casos, a pesar de la posible “complejidad algebraica” para encontrar la solución. Mediante funciones generalizadas 1  Una introducción a la teoría de funciones generalizadas y sus aplicaciones en ecuaciones diferenciales puede encontrarse en Kanwal [1997] o Stakgold [1967]. 2 En Rodríguez [2001] y Tohmé [2001] pueden consultarse síntesis y comentarios sobre la obra de economías distribucionales de Olivera.   2 también mostramos, utilizando el modelo determinístico de colapso de regímenes cambiarios de Flood y Garber [1984], cómo podemos analizar el comportamiento dinámico de variables flujo en el instante de transición de régimen. Finalmente, en un modelo de estabilidad del equilibrio parcial se expone la representación y análisis de estabilidad del equilibrio frente una perturbación instantánea provocada por un cambio exógeno. La cuarta y última sección contiene algunos comentarios finales. Al final del trabajo, en un apéndice, incluimos el desarrollo del método de Lagrange para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden completas y algunos cálculos para resolver los modelos tratados. II. Método de variación de parámetros 1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden completas Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden con condiciones de contorno: [1.1] ()()()f() x s a x s b x s s ′′ ′+ ⋅ + ⋅ = , 0 [,] s t T  ∈ , , a b ∈    00 ()  =  x t x   ()  =  T   x T x  El instante de tiempo corriente lo denotamos por t  , estando comprendido entre 0 t t T  ≤ ≤ . La solución de la ecuación homogénea es de la forma 12 12 ()  r s r s x s c e c e ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅  (si 12 r r  ≠ ), donde 1 r   y 2 r   son las raíces características de (1). Por la aplicación que estamos interesados en tratar asumiremos que las raíces características poseen signos opuestos: 1 0 r   >  y 2 0 r   < . Para la búsqueda de la solución particular se propone, de forma análoga a los casos de primer orden (véase el apéndice), una función de la forma 12 12 ()()() r s r s x s c s e c s e ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ , siendo 1 () c s  y 2 () c s  funciones a determinar. Estas funciones se obtienen a partir del siguiente sistema de ecuaciones [Elsgoltz, 1977, pp. 119-122]: 1212 1212 0()f()() r s r sr s r s c se esc sr e r e ⋅ ⋅⋅ ⋅ ′     ⋅ =     ′⋅ ⋅         Resolviendo el sistema, las ecuaciones diferenciales para las funciones vienen dadas por: 1 121 f()() r s s ec sr r  − ⋅ − ⋅′ =− , 2 221 f()() r s s ec sr r  − ⋅ ⋅′ =−     3  Dada f() s , la obtención de las funciones 1 () c t  y 2 () c t  no es independiente del camino de integración elegido. La razón se encuentra en que, dados los signos de las raíces, la integración puede actuar como un proceso de “descuento” o “capitalización”. Estamos interesados en obtener una solución acotada para la ecuación no-homogénea. Teniendo en cuenta los signos de las raíces y las condiciones de contorno, las funciones se pueden determinar integrando sobre: 1 121 f()()dd T T  r st t s ec s s sr r  − ⋅ ⋅′ ⋅ = − ⋅− ∫ ∫ , por lo tanto, [1.2] 1 1121 1()()f()d T r st c t c T s e sr r  − ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅−  ∫  Notemos que al destinar la raíz positiva al intervalo de integración que comprende el futuro, los valores de f() s  más lejanos se “descuentan” en mayor magnitud que los valores de la función en puntos más próximos al instante corriente. Integrando la segunda constante: 200 221 f()()dd t t r st t s ec s s sr r  − ⋅ ⋅′ ⋅ = ⋅− ∫ ∫ , obtenemos, [1.3] 20 22021 1()()f()d tr st c t c t s e sr r  − ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅−  ∫  En esta solución ocurre algo similar a la anterior. Como la segunda raíz asumimos que era negativa, los valores de f() s  más cercanos al instante corriente reciben mayor ponderación con respecto a los más lejanos en el pasado. Reemplazando en la solución propuesta resulta: [1.4] 12120 ()()1202121 11()()()f()df()d T tr s t r s tr t r tt t x t c T e c t e s e s s e sr r r r  − ⋅ − − ⋅ −⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅− − ∫ ∫ , que es una solución general de (1). Las constantes 1 () c T   y 20 () c t  quedan determinadas por las condiciones de contorno. A partir de estas condiciones obtenemos: 10121021021000 ()()10()()()()2121 11()f()df()d11 T T  r tr T r s T r s tT  r r T t r r T tt t e ec T x s e s x s e sr r e r r e − ⋅− ⋅− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − − − ⋅ −    = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   − − − −       ∫ ∫   10202010221021000 ()()()200()()()()2121 11()f()df()d11 T T  r t T r t r tr s t r s T T r r T t r r T tt t e e ec t x s e s x s e sr r e r r e ⋅ −− ⋅ − ⋅− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − − ⋅ −     ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   − − − −       ∫ ∫     4  Si el horizonte de tiempo se extiende hasta infinito, T   → + ∞ , asumimos que: 1 () limf()d T r s tT t s e s − ⋅ −→∞  ⋅ ⋅ < ∞ ∫  y 20 () limf()d T r s T T t s e s − ⋅ −→∞  ⋅ ⋅ < ∞ ∫ , entonces el valor de las constantes resulta: 1 1 lim()lim  r T T T T  c T x e − ⋅→∞ →∞ = ⋅   101202010 ()()20021 1lim()f()dlim r s t r r tr t r T T T T t c t x s e s e x e er r  ∞− ⋅ − − ⋅− ⋅ − ⋅→∞ →∞  = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −   ∫   Además, si suponemos que en el largo plazo la solución converge a la solución de equilibrio o particular entonces debemos exigir que 1 lim0 r T T T  x e − ⋅→∞  ⋅ = . En términos del diagrama de fases asociado a la ecuación, esta condición es equivalente a seleccionar como solución la rama estable del sistema de ecuaciones diferenciales 3 .  Asumamos que se verifica esta última condición entonces: 1 lim()0 T   c T  →∞  =   10200 ()20021 1lim()()f()d r s t r tT t c t x t s e s er r  ∞− ⋅ − − ⋅→∞  = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −   ∫  Reemplazando en (4): 10201200 ()()()()0212121 111()()f()df()df()d tr s t r t t r s t r s tt t t x t x t s e s e s e s s e sr r r r r r  ∞ ∞− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −  = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − −   ∫ ∫ ∫  Siendo una solución particular del problema. Si observamos los últimos dos términos del lado derecho podemos notar que las funciones 1 () r s t e − ⋅ −  y 2 () r s t e − ⋅ −  actúan como “ponderadores” o “funciones de peso” de f() s , la primera “descuenta” los valores futuros de f() s  mientras la segunda otorga mayor peso a los valores de f() s  del pasado reciente. III. Aplicaciones 2. Modelo de sobrerreacción del tipo de cambio Las ecuaciones del modelo son las siguientes [Dornbusch, 1976]: [2.1] * ()() r t r e t = +  i  [2.2] ()() h p t r t y λ φ  − = − ⋅ + ⋅  [2.3] ( ) * ()()()()  p t u e t p t r t y f y y π κ σ γ   = ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ −  i  El significado de cada una de las variables se indica a continuación: 3  Recordemos que una ecuación diferencial del tipo [1.1] puede expresarse siempre como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
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