Secundario a Distancia de Jóvenes y Adultos Matemática II - Ciclo Básico

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Presentación del Módulo: Matemática II En este módulo seguiremos abordando temáticas cercanas a nuestro contexto, involucradas en situaciones cotidianas que nos permitirán comprenden el uso y la utilidad
Presentación del Módulo: Matemática II En este módulo seguiremos abordando temáticas cercanas a nuestro contexto, involucradas en situaciones cotidianas que nos permitirán comprenden el uso y la utilidad de cada uno de los temas a tratar. Particularmente en Matemática II abordaremos temas como: Medida y Unidades: Profundizando los conceptos vistos en Matemática I, realizando pasaje de unidades y conversión a unidades utilizadas cotidianamente como: litros y hectáreas. Ecuaciones: Comenzamos indagando situaciones que involucran las ecuaciones, dando sentido y visibilidad a las mismas. Utilizándolas como herramientas de resolución de problemas. Teorema de Pitágoras: Utilizamos el famoso Teorema de Pitágoras para resolver situaciones que se nos pueden presentar a diario, donde siempre podremos graficar las mismas a través de triángulos rectángulos. Proporcionalidad Inversa: Daremos continuidad a Proporcionalidad Directa, diferenciándola de aquellas situaciones donde no se cumple esa condición. Plasmaremos los resultados en distintos gráficos que nos dan cuenta del comportamiento de las variables involucradas. Estadística: Utilizaremos los gráficos construidos en el Módulo de Matemática I, incorporaremos otros, y agregaremos otra forma alternativa de representar los datos que recolectamos: tablas de frecuencias. 8 2. Capacidades del Área de Ciencias Exactas y Naturales Para acreditar el Módulo deberás poner en evidencia las siguientes capacidades: 1. Interpretar distintos tipos de gráficos para poder interiorizarse de la información contenida y generar autonomía en la toma de decisiones. 2. Esquematizar mediante gráficos, diagramas, esquemas u otras herramientas distintas situaciones-problemas para poder transmitir la información de una forma alternativa. 3. Reconocer la relación entre la teoría y el medio para comprender o predecir el comportamiento de nuestro organismo o del ambiente. 4. Comprender fenómenos o situaciones-problema para razonar en forma crítica. 5. Organizar datos y procesos necesarios para facilitar la utilización de los mismos y mejorar la transmisión de los resultados. 6. Intervenir en la elaboración y desarrollo de proyectos de cuidado y preservación de la salud y del ambiente. 7. Interpretar distintos tipos de lenguajes simbólicos para comprender la información contenida en los diversos formatos que aparecen en la vida cotidiana y favorecer el aprendizaje autónomo. 9 Trabajo Final Obligatorio: Matemática II Apellido y Nombre/s: DNI: Escuela: Extensión áulica: Fecha: IMPORTANTE: El presente trabajo es de resolución y presentación INDIVIDUAL. Actividad N 1: En una obra suelen surgir distintos inconvenientes que deben ser salvados en el momento por el profesional que esté dirigiendo. En la construcción de una casa, el maestro mayor de obras debe ausentarse durante una semana para atender asuntos legales en una construcción anterior que hizo en otra localidad. Para poder realizar un seguimiento a la distancia, te nombra como encargado, donde tendrás que comunicarle las distintas situaciones que vayan surgiendo y que requieran de su experiencia a través de internet, y el profesional deberá enviarte instrucciones precisas por la misma vía. A continuación se detallan los problemas que aparecieron en una semana y que fueron consultados al maestro mayor de obras. 12 de Febrero: El estar-comedor iba a ser de un solo ambiente, pero al cliente se le ocurrió hacer una división para que haya dos ambientes, por un lado la sala de estar y por el otro el comedor. La cuestión es que a la mitad hay que construir un muro a 90. Cómo podemos hacer para conseguir tirar el hilo guía a 90? Cómo quedaría gráficamente el nuevo diseño en un plano? Le agregarías algo más a la división? 14 de Febrero: El presupuesto inicial para la realización de los tapiales era de $ , con el cual debíamos construir 16 metros lineales. El metro lineal tiene un costo de $ El cliente decidió gastar lo que sobraba construyendo más metros de tapial para los costados. Cuántos metros adicionales de tapial se podrán construir? 15 de Febrero: El pozo ciego tiene 2 metros y medio de profundidad y que de lado a lado mide 1 metro y medio. El cliente nos pregunta Qué capacidad en litros tiene? 17 de Febrero: En el día de la fecha se ausentaron 3 trabajadores por razones médicas, quedando en obra 15 constructores. Como el objetivo era terminar con el trabajo previsto para ese día (8 horas en total para los 18 trabajadores de la obra) les pedí a los que estaban 10 activos que cumplieran horas extras. Cuántas horas extras debieron cumplir cada uno? 18 de Febrero: Los plazos previstos en la proyección de obra se han visto afectados por las malas condiciones climáticas. Nuestros 18 obreros tardarán 30 días (trabajando 8 horas diarias) en finalizar la obra pero el plazo vence en 20 días. Cuántos obreros deberíamos adicionar para cumplir con los tiempos requeridos? Tené en cuenta la posibilidad de armar alguna tabla o herramienta que permita relacionar la situación de los obreros con respecto a la cantidad de días que deben tener realizado el trabajo. Analizar los distintos aspectos del inconveniente y elaborar una conclusión que nos permita justificar cada proceso que realicemos. Actividad N 2: De la obra anterior teníamos que enviar una planilla a la empresa constructora informando el ausentismo de los obreros y sus motivos. OBREROS DÍAS AUSENTES MOTIVO DE LA AUSENCIA GIMENEZ 1 Razones Médicas HERNANDEZ 0 - LOPEZ 4 Razón Particular NICOLA 0 - FERNANDEZ 1 Injustificada MARTINEZ 4 Capacitación Laboral RAMOS 3 Razones Médicas AGUILAR 3 Capacitación Laboral ARRIETA 2 Razón Particular DOMINGUEZ 7 Razones Médicas BENEDETO 4 Razones Médicas BENVENUTO 5 Razón Particular PEREZ 6 Capacitación Laboral BENITEZ 0 - GARCÍA 9 Injustificada FLORES 1 Capacitación Laboral SALAS 0 - CASTRO 7 Razones Médicas 11 Realizar una proyección para la empresa con los tipos de gráficos que creas más adecuados (gráfico de barras, circular, etc.) teniendo en cuenta datos recopilados en la tabla junto con un informe que detalle las situaciones representadas. Si lo creés conveniente podés realizar más de un gráfico. Actividad N 3: Se debe realizar la división de bienes de una persona entre tres herederos, por lo que te piden que realices la propuesta más equitativa de división que pueda conformar a todas las partes. A continuación enumeramos las propiedades (y conceptos) junto con su valor en pesos y las características particulares de cada una: Una chacra de 18 hectáreas cotizada en $ , la cual puede subdividirse al momento de la repartición. Un terreno en zona céntrica de 12 metros por 30 metros (la zona más cara de la ciudad) cuyo m 2 está valorado en $ Una pequeña casa en zona de quintas valorada en $ Dinero en efectivo, cuya suma asciende a $ Para esta tarea te recomendamos trabajar con las mismas unidades en caso de que se produzca alguna subdivisión. Podés agregar gráficos o diseños propios de cómo sería la posible subdivisión. *Uno de los herederos quiere que sus bienes estén monetizados en dólares, por lo cual debemos tener en cuenta la cotización del momento. Cuál es el monto que le corresponde en dólares? *Otro de los herederos quiere depositar en el Banco el valor total de los bienes que le corresponda en un plazo fijo en pesos ($) que le otorga un 2,5% mensual. Cuánto dinero tendrá en su cuenta si el plazo fijo lo mantiene por un año? Qué ganancia obtendrá en ese tiempo? *El tercer heredero quiere destinar todo el valor de los bienes que le corresponde en la compra de departamentos para tener beneficios de los alquileres. Determinar cuántos departamentos puede comprar y cual sería el monto mensual que deben pagar las personas que los alquilen. En cuánto tiempo podrá recuperar su inversión? Qué ganancias anuales obtendrá de los alquileres? 12 Aquí finaliza el ejemplo de Trabajo Final Obligatorio. 13 Trabajar en Capacidades Para iniciar con este módulo te proponemos que leas la siguiente actividad que se enmarca en nuestro enfoque en capacidades. El objetivo de la misma es comprender que siempre la matemática posee más de una forma de resolución y que si llegamos a los resultados deseados, cualquier camino que hayas tomado es indistinto y todos son correctos. Actividad Aquamarina, un negocio de venta de Piletas, decide lanzar al mercado grandes promociones para la venta de sus piletas debido al inicio de la temporada de verano. Las medidas son expresadas en largo x ancho x profundidad. Alan decide comprar una de estas piletas pero se encuentra con un inconveniente. En su municipio están realizando campañas de concientización por el uso del agua y recomiendan que no se utilice una cantidad mayor a litros para el llenado de las piletas en verano. Alan llega a su casa con el folleto de las ofertas y no sabe cuál elegir. Clásica: 6 m x 3 m x 1,5 m Small: 4 m x 2 m x 1,2 m Premium: 8 m x 4 m x 1,6 m 1. Ayudemos a Alan a decidir cuál puede comprar según esta condición de la cantidad de litros. 14 2. Por su parte la empresa Aquamarina decide hacer una proyección de cómo fueron las ventas en el último año y así, cuando pase el verano entrante, ver el impacto que produjo el lanzamiento de dichas promociones. Para ello ayudaremos a la empresa a mostrar gráficamente las producciones que se muestran en la siguiente tabla: Mes Cant. de Piletas Vendidas Octubre 29 Noviembre 32 Diciembre 24 Enero 11 Febrero 9 Marzo 8 Abril 6 Mayo 2 Junio 0 Julio 7 Agosto 15 Septiembre 36 Debemos ayudar a Alan a decidir qué pileta debe comprar, siempre sabiendo que no debe superar los litros. Para ello deberíamos calcular la cantidad de litros que contiene cada pileta. 1. Posibles Resoluciones Una forma de sacar la cantidad de litros es multiplicar sus dimensiones (largo x ancho x profundidad) y pasar el resultado a dm 3. En este método utilizaremos nociones de Medida y pasaje de unidades. Luego dicho resultado expresado en dm 3 será el dato que estamos buscando, ya que 1 dm 3 = 1 litro. Clásica: 6 m x 3 m x 1,5 m = 27 m 3. Para pasar 27 m 3 a dm 3 resta multiplicar por Entonces serán, dm 3. Es decir, la medida clásica contiene litros de agua. Small: 4 m x 2 m x 1,2 m = 9,6 m 3. Para pasar 9,6 m 3 a dm 3 resta multiplicar por Entonces serán, 9600 dm 3. Es decir, la medida small contiene 9600 litros de agua. Premium: 8 m x 4 m x 1,6 m = 51,2 m 3. 15 Para pasar 51,2 m 3 a dm 3 resta multiplicar por Entonces serán, dm 3. Es decir, la medida premium contiene litros de agua. Resultado: La pileta que podrá comprar Alan es la Medida Small, ya que es la única que contiene menos de litros. Otra posible resolución De la misma manera, utilizando nociones de Medida, pasaje de unidades y también regla de tres simple podremos calcular cuántos litros contiene cada pileta. Sabemos que 1 m 3 = 1000 dm 3 entonces 1 m 3 = 1000 litros. Tomaremos los resultados anteriores que obtuvimos en m 3, ya que es el mismo cálculo, y con esa Igualdad aplicaremos la regla de tres simple. Clásica: 27 m 3 1 m litros 27 m 3 x = (27 m litros)/ 1 m 3 = L Small: 9,6 m 3 1 m litros 9,6 m 3 x = (9,6 m litros)/ 1 m 3 = 9600 L Premium: 51,2 m 3 1 m litros 51,2 m 3 x = (51,2 m litros)/ 1 m 3 = L Resultado: llegamos a la misma conclusión, Alan sólo podría comprar la medida Small, puesto que es la única que contiene menos de litros. 16 2. Para mostrar a la empresa gráficamente las ventas realizadas el último año, y que luego continúen el gráfico para analizar 15 si las promociones fueron fructíferas, realizaremos un gráfico de líneas, debido a que es el más adecuado para mostrar el comportamiento de una variable a lo largo de un período. En dicho gráfico se puede ver la variación de las ventas mes a mes. Las mismas tienen a decrecer desde Enero (debido a que ya estamos a mediados de verano y no alcanzan los tiempos para colocar una pileta) hasta Junio; y comienzan a crecer en Agosto y Septiembre hasta el Inicio de la temporada. 17 Otra forma de mostrar la variación en las ventas es mediante un gráfico de Columnas, dado que podríamos observar también en cada mes el valor alcanzado y la variación del alto de las columnas nos acercaría a un análisis global de los meses. En este gráfico también observamos la misma proyección que en el anterior debido a que los bajos y altos de las ventas se suceden en los mismos meses y se observan igualmente como en el gráfico de líneas. 18 EJE N 1: Qué unidad conviene? Así como no pueden sumarse pesos con dólares debido a que las unidades monetarias son distintas, puedo pensar también en que no puedo operar litros con kilos porque una es una unidad de capacidad y la otra de peso, al hablar de unidades de longitud sucede algo similar. Existen muchas unidades que son usadas para medir distancias, donde cada una es más o menos adecuada dependiendo de la situación en la que se tiene que emplear. Por ejemplo no sería práctico medir en metros la longitud de una lapicera, pues sería más adecuado utilizar los centímetros, o no sería una buena decisión medir las dimensiones de un terreno en milímetros, cuando lo mejor es medir en metros los lados de este tipo de parcelas. Pero más allá de que uno elija la unidad adecuada, en ocasiones ya puedo tener la medida necesaria pero en una unidad que no era la esperada, entonces será tarea nuestra realizar lo que en Matemática se llama un pasaje de unidades. Puedo pensar en un ejemplo para ilustrar esta idea. Imaginemos que se desea comprar una mesa y buscando por medio de internet se encuentran dos ofertas económicas entre las que se debe decidir. Largo: 2,3 m Ancho: 1,1 m Largo: 190 cm Ancho: 135 cm El criterio que se tomará para decidir cuál conviene más es elegir la que ofrece mayor superficie, y la dificultad que rápidamente identificamos tiene que ver con el tema que se venía exponiendo. No se usa la misma unidad en las dos ofertas, en consecuencia si se calcula el área de cada mesa los resultados tendrán distintas unidades y no se podrían comparar. Lo que se debe hacer entonces es realizar el antes mencionado pasaje de unidades, y esto significaría pasar las dimensiones de centímetros a metros, o viceversa. Pero cómo se hace esto? Si lo que decidiéramos fuese pasar los centímetros a metros, sólo se debe recordar que 1 metro tiene 100 centímetros, y lo que se debería hacer es dividir la cantidad en centímetros por 100. El resultado de esta operación sería la medida del lado deseado en metros. 19 Largo Ancho La relación es 1 m = 100 cm 190 cm : 100 = 1,9 m 135 cm : 100 = 1,35 m Entonces la segunda mesa quedaría Largo: 1,9 m Ancho: 1,35 m Entonces ahora sí podría calcularse el área de cada mesa para poder comparar los resultados con la misma unidad. Por suerte cuando hay que realizar este tipo de pasajes existe una regla bastante simple que se puede aplicar, la cual simplemente consiste en multiplicar por diez si se quiere pasar a una unidad menor siguiente (por ejemplo de centímetros a milímetros), o dividir por diez si se quiere pasar a una unidad mayor siguiente (por ejemplo de centímetros a decímetros). Pero más útil es simplificar esta regla en un esquema como el que presentaremos a continuación. x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 km hm dam m dm cm mm. /. 10. /. 10. /. 10. /. 10. /. 10. /. 10 mm: milímetro cm: centímetro dm: decímetro m: metro dam: decámetro hm: hectómetro km: kilometro Por ejemplo si quisiéramos pasar cm a decámetro debería dividir esta cantidad por 10 tres veces, o lo que es lo mismo dividir por Dividir porque queremos pasar de una unidad menor a otra mayor cm : 10 : 10 : 10 = 130 dam O también se puede hacer: cm : 1000 = 130 dam 20 En cambio, si quisiera pasar 426 dm a milímetro, como quiero transportarme de una unidad mayor a otra menor deberé multiplicar por 10 dos veces, o lo que es lo mismo multiplicar por dm x 10 x 10 = mm O también se puede hacer: 426 dm x 100 = mm Resolvemos! Actividad 1 Una lata de pintura sintética de cuarto litro informa en su etiqueta que cubre 6,5 m 2 de superficie, y con ella se deben pintar 8 maderas rectangulares de un solo lado, son todas iguales y miden 95 cm por 85 cm. Calculá si fue suficiente con una lata. Recordá que el área de un rectángulo se calcula con la formula Área = base x altura. Sintético: madera - metal. Cubre 6,5 m 2 Actividad 2 45 cm Se tiene un rollo de 64 metros de cinta de crochet para bordar alrededor de pequeños manteles circulares de una mesa ratona. Estos manteles tienen un diámetro de 45 centímetros. Calculá para cuantos de estos manteles alcanza el rollo de cinta. Recordá que el perímetro de un círculo se calcula con la formula Perímetro = π x diámetro. 21 Hasta aquí hemos visto como realizar el pasaje entre unidades de longitud, y lo observamos en diferentes problemas que nos proponían resolver situaciones de longitudes o de superficies, donde, en estos segundos problemas, nos convenía realizar el pasaje hacia la unidad adecuada antes de calcular el área. Pero pensemos ahora en la siguiente situación. Se tiene un balde mediano de pintura asfáltica cuya etiqueta indica que cubre 12 m 2, y con ella se quiere pintar la Aquí ya no tenemos las medidas originales de los postes así que no podemos pasarlas a metros y luego calcular el área, por lo que la única solución es transformar alguna de las dos áreas en la otra unidad en cuestión. Es decir, los cm 2 en m 2 o los m 2 en cm 2. parte inferior de unos 85 postes para evitar que se pudran en contacto con la humedad de la tierra, pues serán usados para cercar un terreno. Al calcular la superficie a cubrir de la parte inferior de cada uno de los pilares se llego al resultado de que hay que cubrir 2350 cm 2 de poste con la pintura. La pregunta lógica seria alcanza el balde de pintura para todos los postes?, y si no alcanzara Cuántos baldes habría que comprar? Para esto primero hay que ver cuál sería la nueva regla a aplicar. Para pasar de una unidad de área a otra siguiente esta vez se deberá multiplicar o dividir por 100, según se pase a una unidad mayor o a una menor. Observemos el siguiente esquema: x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2. / / / / / /. 100 mm 2 : milímetro cuadrado cm 2 : centímetro cuadrado dm 2 : decímetro cuadrado m 2 : metro cuadrado dam 2 : decámetro cuadrado hm 2 : hectómetro cuadrado km 2 : kilometro cuadrado 22 Siguiendo con la situación de los postes usaremos esta regla para pasar los 2350 cm 2 a m 2. Como hay que pasar a una unidad mayor divido dos veces por cm 2 : 100 : 100 = 0,235 m 2 Ahora si divido los 12 m 2 por los 0,235 m 2 nos da cuantos postes se pueden pintar. 12 m 2 : 0,235 m 2 = 51,06 Entonces el balde alcanza apenas para 51 postes; es decir, que habrá que usar dos de ellos. Otra posibilidad hubiera sido pasar los 12 m 2 a cm 2. Como hay que pasar a una unidad menor multiplico dos veces por m 2 x 100 x 100 = cm 2 Entonces, si divido los cm 2 por los 2350 cm 2, también nos dará como resultado cuantos postes se pueden pintar cm 2 : 2350 cm 2 = 51,06 Vemos así que da lo mismo en los cálculos anteriores. Cualquiera de los dos mecanismos es correcto. Resolvemos! Actividad 3 Una pileta tiene una superficie en su parte superior de 34 m 2 y se necesita comprar un material cobertor que se cobra $ 0,20 por dm 2. Calculá cuánto costará comprar la cantidad de material suficiente para cubrir la pileta. 23 Actividad 4 Cierto azulejo para baño cubre por unidad una superficie de 178 cm 2, y se los quiere usar para revestir el baño de un supermercado cuya área a cubrir es de 47,5 m 2. Calculá cuántos de estos cerámicos serían necesarios para este trabajo. No podía escapar a nuestro estudio el pasaje entre unidades de volumen. Arranquemos este análisis pensando ya en un problema. Un depósito tiene una capacidad de 47,5 m 3 para guardar lo que haga falta, y se quieren colocar allí varias bolsas de cemento que ocupa cada una cm 3. Para comenzar con este nuevo tipo de pasaje debemos saber que para transformar una unidad de volumen en otra siguiente mayor o menor, ahora habrá que multiplicar o dividir por 1000 según se
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