Area y Perimetro - Bruno d’Amore

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  129 . D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2007). Relaciones entre área y perímetro: convicciones de maestros y de estudiantes.  Relime  (Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa). Vol. 10, N. 1. 39-68. ISSN: 1665-2436. Relaciones entre área y perímetro: convicciones de maestros y de estudiantes 1   Bruno D’Amore 2  Martha Isabel Fandiño Pinilla 2 con la colaboración de: Gianfranco Arrigo, Lorella Campolucci, Giampiero Ceccherini, Erminia Dal Corso, Margherita Francini, Maura Iori, Ines Marazzani, Annarita Monaco, Fabrizio Monari, Paola Nannicini, George Santi, Silvia Sbaragli, Anna Traverso, Nadia Vecchi RESUMEN En esta investigación examinamos las convicciones de maestros y de estudiantes en lo que concierne a las relaciones existentes entre perímetro y área de una figura plana. La investigación se inserta en una corriente clásica, explorada por más de 60 años, pero que hoy incluye nuevos factores. En particular, se estudia el cambio de las convicciones, el lenguaje utilizado para expresar dicho cambio, el grado de incidencia que tienen los ejemplos dados, y, en particular, discutimos la idea según la cual precisamente las supuestas relaciones entre perímetro y área constituyen un ejemplo de la actitud no crítica del estudiante que tiende a confirmar aumentos o disminuciones entre entidades puestas en relación. PALABRAS CLAVE : Fundamentos teóricos, Educación Matemática, epistemología, cognición y articulación de teorías. ABSTRACT In this research we examine the convictions of teachers and students regarding the existing relations between perimeter and area of a flat figure. The research is inserted in a classical position, explored for more than 60 years, but that today includes new factors. Particularly, the change of the convictions is studied, the language utilized to express that change, the degree of incident that have the given examples, and, particularly, we discuss the idea that Fecha de recepción:31 de agosto de 2006/Fecha de aceptación: 14 de enero de 2007 1  Trabajo desarrollado en el ámbito del Programa de investigación 60% de la Universidad de Bologna (Departamento de Matemática): «  Aspectos metodológicos (teóricos y empíricos) de la formación inicial y en servicio de los maestros de matemática de todo nivel escolar  ».   2   RSDDM – NRD. Departamento de Matemática. Universidad de Bologna. Italia.  the supposed relations between perimeter and area constitute an example of the not criticism attitude of the student that tends to confirm increases or decreases among entities put in relation. KEY WORDS : Theoretical bases, mathematics education, epistemology, cognition and theories articulation. RESUMO Nesta investigação examinamos as convicções dos professores e dos estudantes no que concerne às relações existentes entre perímetro e área de uma figura plana. A investigação se insere em uma corrente clássica, explorada por mais de 60 anos, porém que hoje inclui novos fatores. Em particular, se estuda a troca das convicções, a linguagem utilizada para expressar essa troca, o grau de incidência que tem os exemplos dados; e, em particular, discutimos a idéia segundo a qual precisamente as supostas relações entre perímetro e área constituem um exemplo da atitude não crítica do estudante que tende a confirmar aumentos ou diminuições entre tais conceitos. PALAVRAS CHAVE : Fundamentos teóricos, Educação Matemática, epistemologia, cognição e articulação de teorias. RÉSUMÉ Dans cette recherche, nous examinons les certitudes de maîtres et d’élèves en ce qui concerne les rapports entre le périmètre et l’aire d’une figure plane. La recherche s’inscrit dans un courant classique, exploré pour plus de 60 ans, lequel a inclus récemment de nouveaux éléments. En particulier, ont été étudiés le changement des certitudes, le langage utilisé pour exprimer ce changement, le degré d’incidence qu’ont les exemples donnés, et en particulier, il est discuté l’idée selon laquelle il est possible de préciser que les rapports supposés entre le périmètre et l’aire sont un exemple de l’attitude non critique de l’élève qui tend à confirmer d’augmentations et de diminutions entre les entités mises en relation. MOTS CLÉS : Fondements théoriques, Didactique des mathématiques, épistémologie, cognition et articulation des théories. 1. Premisa y cuadro teórico Las investigaciones sobre el problema del aprendizaje de los conceptos de perímetro y área de las figuras planas pueden ostentar el título de haber sido las primeras en ser estudiadas. Después de haberse ocupado del nacimiento del pensamiento y del lenguaje en el niño y, años después, de la adquisición-construcción de la idea de número (en sus varias acepciones), Piaget se ocupó, a partir de los años treinta del siglo XX, de las construcciones conceptuales relacionadas con la Geometría. Entre las diversas obras, que sería aquí imposible citar, nos limitaremos a aquellas en las cuales aparecen explícitamente el perímetro y el área o referencias a estos conceptos (Piaget, 1926; Piaget, 1937; Piaget, Inhelder y Szeminska, 1948; Piaget y Inhelder, 1962). A estas obras de base siguieron  rápidamente, en los años 50 y 60, estudios realizados por alumnos o seguidores del Maestro ginebrino, basados en las mismas certezas tomadas de la epistemología genética, por ejemplo Vihn y otros. (1964), Vihn y Lunzer (1965). Señalamos también el estudio de Battro (1983), quien repite todos los célebres experimentos del Maestro. Son éstos, estudios clásicos, los que han influido por más de veinte años en los análisis sucesivos sobre dicho tema, los cuales se centraban principalmente en los fracasos de  jóvenes alumnos en determinados estadios de edad. En particular, en este sentido se estudiaron con mucha atención, entre otras, las ideas de longitud y de superficie, lo que evidenció la gran dificultad que los alumnos tienen para apropiarse de la idea de superficie. Más aun, las investigaciones pusieron en evidencia cómo, al variar la forma, el joven estudiante tiende a no ser capaz de aceptar la posible inmutabilidad de la medida de la superficie. La dificultad ligada a falsas relaciones entre área y perímetro, según estas investigaciones, parece perdurar hasta los 12 años, y está poco relacionada con el desarrollo lingüístico del sujeto. [Es bien conocido que las conclusiones de Piaget fueron sometidas a severas críticas en posteriores estudios; con el fin de hacer menos pesado este trabajo, remitimos a Resnick y Ford (1981, en especial al capítulo 7)]. A estos estudios preliminares y clásicos siguieron numerosas investigaciones; tantas, que es imposible hacer aquí un cuadro completo; nos limitaremos (siguiendo un recorrido cronológico) sólo a aquellos que hacen referencia específicamente a las dificultades en el aprendizaje del perímetro y del área. Dichas investigaciones han condicionado sin ninguna duda la dirección de nuestra actual investigación. En Rogalski (1979) se señala cómo uno de los grandes problemas del aprendizaje de las superficies está en que existen “obstáculos conceptuales” específicos que se refuerzan los unos en los otros. 3  Las dificultades sobresalientes son los cambios en las dimensiones, el estatuto específico de las unidades de medida, sus relaciones con las unidades de longitud y las medidas espaciales. En Gentner (1983), con mucha cautela, se sugiere el uso de materiales concretos sencillos para las primeras aproximaciones a la geometría en general, y al estudio de las superficies en particular. La idea de modelo intuitivo está muy bien explicada en Fischbein (1985): “Para crear una base intuitiva en la investigación intelectual, a los conceptos y a las operaciones mentales, tendemos a asociar espontáneamente modelos significativos desde el punto de vista intuitivo (...). Un modelo intuitivo tiene siempre un significado pictórico-comportamental e 3  En 1979 aún no estaba totalmente difundida la teoría de los obstáculos de Brousseau (Brousseau, 1976; 1986; 1989); por lo tanto, los autores utilizaban términos que en el momento actual, dentro de este marco teórico, deberían ser precisados; nos parece, sin embargo, que la idea de “obstáculo conceptual” de Rogalski se puede asociar con la idea de “obstáculo epistemológico” de Brousseau, pero evidenciando el factor relativo a la dificultad de aprendizaje, más que a hechos históricos.  induce siempre efectos de aceptación inmediata. (...)” (p. 14-15); pero: “La insistencia excesiva en dar sugerencias intuitivas usando representaciones artificiales o demasiado elaboradas pueden hacer más mal que bien” (p. 18). Un discurso mucho más general fue propuesto por Speranza (1987); junto a consideraciones generales de extraordinario interés cultural, se demuestra cómo las dificultades conceptuales relevadas, en cuestiones relacionadas con el área y el perímetro, en la escuela primaria, permanecen en alumnos avanzados, incluso en la universidad. [Veremos confirmarse esta afirmación en el trascurso de este trabajo]. Iacomella y Marchini (1990) proponen una interesante reflexión, en la cual se evidencia la existencia de un contraste entre las medidas directas (como, por ejemplo, el geoplano, cuadrículas, teorema de Pick) e indirectas de una superficie (por ejemplo recurriendo a las fórmulas, usando las medidas lineales) y cómo este contraste puede constituir una dificultad conceptual para la comprensión de este argumento. En el artículo de Tierney, Boyd y Davis (1990) se afronta el tema de las concepciones que tienen los docentes de la escuela primaria con respecto al área; es por demás relevante que se evidencie lo siguiente: primero, dichas concepciones a veces coinciden con las de los alumnos; segundo, el área es puesta en relación con las fórmulas para calcularla, más que con un concepto general. En un cierto sentido, esta investigación puede ser interpretada como el punto de partida de todos aquellos que indagan sobre las concepciones de los docentes y, por tanto, del trabajo que aquí estamos presentando. En Outhred y Mitchelmore (1992) se presentan casos de niños de los últimos años de la escuela primaria capaces de confrontar superficies de figuras rectangulares, pero que no estaban en disposición de pasar de esta experiencia a las medidas de superficie. En general, el artículo está dedicado a las dificultades específicas en la conceptualización del área y del perímetro por parte de los alumnos de la escuela primaria. Normalmente, en la actividad de enseñanza se tiene como premisa que, si un alumno aprende a calcular el área del rectángulo, está listo para aprender a medir las áreas de cualquier otra figura geométrica. Aquí se muestra, al contrario, como esto es sólo una ilusión. Un amplio estudio, considerado un clásico por muchos investigadores, es el de Rouche (1992); en éste se demuestra cómo el rectángulo constituye el punto de partida más importante para la adquisición del concepto de superficie, el punto crucial, la figura por excelencia, dado que a ésta recurren casi todas las otras figuras que el alumno conocerá en la escuela primaria y, ciertamente, las primeras (triángulo, paralelogramo, trapecio...). Se insiste también en que la determinación del área de un rectángulo como producto de las medidas de dos segmentos sea aún ejemplo del uso de medidas indirectas, hecho difícil de aceptar y, por tanto, de construir conceptualmente. Aparentemente, hay una contradicción entre las dos investigaciones mencionadas, pero no es así: en la primera se muestra cómo dominar los elementos del rectángulo no es condición suficiente para asegurar el dominio de los elementos de las demás figuras, en particular en lo referente al concepto de área; en
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