6 y 7 de Introduccion

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  En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio de Convergencia ( R = 0  , R = ∞ y R ∈ R + ) . Ejemplos: 1)   1) La serie de potencias    para cada valor de  x da lugar a una serie geométrica de razón  x  . Por ello es convergente si ||  < 1 y divergente si ] − 1|  ,x  1[| ≥ y en él su suma es 1. Se trata de una serie con radio de convergencia 1(1)⁄ .  2)   La serie de potencias P n !  x  n sólo converge en el srcen ( R = 0) , ya que para cualquier  x ∈ R  ,x 6= 0 , la Serie numérica luego la serie dada no converge absolutamente en ningún P n !  ||  = 0 es divergente (se puede comprobar aplicando el criterio de D’Alembert)  ; x = 06  , lo que asegura (¡justifíquese!) que la serie sólo converge en 3)   3) La serie de potencias ∑      ∞=  es absolutamente convergente para cualquier valor real de  x y por tanto su radio de convergencia es R = ∞ . 4)   La serie de potencias ∑    ∞=  también es absolutamente convergente para todo  x con |  x  | < 1 , y divergente cuando absolutamente para tanto, el intervalo |  xx  |= > − 11 . y diverge para Así que su radio de convergencia es  x = 1 (armónica). Su intervalo de convergencia es, por   [1,1] . 1 . Ahora la serie converge no (-1, 1) y su dominio de convergencia es cálculo del radio de convergencia. Dada una serie de potencias P a n  x  n , se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la serie es absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideramos la serie P | a n ||  x  | n  y veremos en qué puntos x converge esta última. Para ello, podemos aplicar el criterio de D’Alembert), calculando lim →∞|  | ||  |  | ||   = L(x)  y deduciendo los valores de  x que para los que L (  x  ) < 1 . Estos valores constituirán el intervalo de convergencia de la serie. Ejemplos: 1) El radio de convergencia de la serie P  2 |  , con 0< a < 1, es R = ∞ . Si a fuera mayor que 1  , entonces R = 0 . 2) Las series ∑  , ∑    +  , ∑    (+)   tienen radio de convergencia R = 1 . Un estudio posterior en los puntos segunda converge en 1 y − 1 − no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos 1 pero no en 1 y la tercera converge en ambos puntos. − 1 y 1 , la PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS Como los términos de una serie de potencias ∑     son funciones potenciales y éstas son continuas, derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos lleva estudiar series de potencias de la forma: ∑    −∞= , ∑    +∞=0   +  Que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada. Teorema 3.2 Las tres series de potencias ∑    ∞=0 , ∑    −∞= , ∑    +∞=0   +  tienen el mismo radio de convergencia. Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serie obtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el teorema anterior, ambas tienen el n mismo radio de convergencia. Nótese que la serie ∑    3   converge en [−3  , 3] , mientras que ∑   3   sólo converge en [−3  , 3 [.  Teorema 3.3 Si ∑    ∞=0  es una serie de potencias con radio de convergencia R = 06,   intervalo de convergencia I, y suma S  (  x  ) para cada  x ∈ I  , se verifica: La función suma es derivable en el intervalo I  , y además  ′ ()  = ∑    −∞=  , es decir, la derivada de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a término la serie de potencias dada. Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias ∑    ∞=0  con radio de convergencia no nulo, tiene derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadas se pueden obtener derivando sucesivamente término a término la serie dada.
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