En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio de Convergencia
(
R
= 0
, R
= ∞
y
R
∈
R
+
)
. Ejemplos: 1)
1) La serie de potencias
para cada valor de
x
da lugar a una serie geométrica de razón
x
. Por ello es convergente si
||
< 1 y divergente si
] − 1|
,x
1[| ≥ y en él su suma es 1. Se trata de una serie con
radio de convergencia
1(1)⁄
.
2)
La serie de potencias
P
n
!
x
n
sólo converge en el srcen
(
R
= 0)
, ya que para cualquier
x
∈
R
,x
6= 0
, la Serie numérica luego la serie dada no converge absolutamente en ningún
P
n
!
||
= 0
es divergente
(se puede comprobar aplicando el criterio de D’Alembert)
; x
= 06
,
lo que asegura (¡justifíquese!) que la serie sólo converge en 3)
3) La serie de potencias
∑
∞=
es absolutamente convergente para cualquier valor real de
x
y por tanto su radio de convergencia es
R
= ∞
. 4)
La serie de potencias
∑
∞=
también es absolutamente convergente para todo
x
con
|
x
|
<
1
, y divergente cuando absolutamente para tanto, el intervalo
|
xx
|=
>
−
11
.
y diverge para Así que su radio de convergencia es
x
= 1
(armónica). Su intervalo de convergencia es, por
[1,1]
.
1
.
Ahora la serie converge no (-1, 1) y su dominio de convergencia es cálculo del radio de convergencia. Dada una serie de potencias
P
a
n
x
n
, se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la serie es absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideramos la serie
P |
a
n
||
x
|
n
y veremos en qué puntos x converge esta última. Para ello, podemos aplicar el criterio de
D’Alembert), calculando
lim
→∞|
| ||
|
| ||
= L(x)
y deduciendo los valores de
x
que para los que
L
(
x
)
<
1
.
Estos valores constituirán el intervalo de convergencia de la serie. Ejemplos: 1) El radio de convergencia de la serie P
2
|
, con 0< a < 1, es
R
= ∞
.
Si
a
fuera mayor que
1
,
entonces
R
= 0
.
2) Las series
∑
,
∑
+
,
∑
(+)
tienen radio de convergencia
R
= 1
. Un estudio posterior en los puntos segunda converge en
1
y
−
1
−
no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos
1
pero no en
1
y la tercera converge en ambos puntos.
−
1
y
1
, la PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS Como los términos de una serie de potencias
∑
son funciones potenciales y éstas son continuas, derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos lleva estudiar series de potencias de la forma:
∑
−∞=
,
∑
+∞=0
+
Que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada. Teorema 3.2 Las tres series de potencias
∑
∞=0
,
∑
−∞=
,
∑
+∞=0
+
tienen el mismo radio de convergencia. Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serie obtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el teorema anterior, ambas tienen el n mismo radio de convergencia. Nótese que la serie
∑
3
converge en
[−3
,
3]
, mientras que
∑
3
sólo converge en
[−3
,
3 [.
Teorema 3.3 Si
∑
∞=0
es una serie de potencias con radio de convergencia
R
= 06,
intervalo de convergencia I, y suma
S
(
x
)
para cada
x
∈
I
,
se verifica: La función suma es derivable en el intervalo I
,
y además
′
()
=
∑
−∞=
, es decir, la derivada de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a término la serie de potencias dada. Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias
∑
∞=0
con radio de convergencia no nulo, tiene derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadas se pueden obtener derivando sucesivamente término a término la serie dada.