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Para recordar Observa los siguientes cuadros que te permitirán recordar los prerrequisitos para activar tus conocimientos previos y resolver los ejercicios que se proponen en las páginas 282 y 283. Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad. ã Una variable aleatoria es una función que asigna a cada elemento de un espacio muestral un número real. Por ejemplo, en el experimento aleatorio “lanzar dos
  ara recordar   ã Una variable aleatoria es una función que asigna a cada elemento de un espacio muestral un número real. Por ejemplo, en el experimento aleatorio “lanzar dos monedas“, podemos definir la variable aleatoria  X  : cantidad de caras que aparecen. ã Las variables aleatorias se simbolizan generalmente con letras mayúsculas:  X  , Y   o Z  . ã Si  X   es una variable aleatoria, P  (  X   =  x  ) corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria  X   tome el valor específico  x  . ã Si  X   es una variable aleatoria y sus funciones de probabilidad y de distribución acumulada son  f  (  x  ) y F  (  x  ), respectivamente, entonces  f  (  x  ) = P  (  X   =  x  ) y F  (  x  ) = P  (  X    G    x  ). Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad. ã La media o esperanza μ de una variable aleatoria  X   que puede tomar valores {  x  1 ,  x  2 , …,  x  n } es:   μ =  x  1  · P  (  X   =  x  1 ) +  x  2  · P  (  X   =  x  2 ) + … +  x  n  · P  (  X   =  x  n ).   Por ejemplo, en el experimento aleatorio de lanzar dos monedas, se define la variable aleatoria  X  : cantidad de caras que aparecen . Luego, los valores posibles que puede tomar  X   son {0, 1, 2}. Para cada valor de  X  , sus probabilidades son:  P  (  X   = 0) = 14, P  (  X   = 1) = 12, P  (  X   = 2) = 14 Finalmente, la media de  X   corresponde a:μ = 0   · P  (  X   = 0) + 1 · P  (  X   = 1) 2 · P  (  X   = 2) = 0 · 14 + 1 · 12 + 2 · 14 = 12 + 12 = 1 ã Si una variable aleatoria  X   puede tomar valores  x  1 ,  x  2 , …,  x  n  , cada uno con probabilidades P  1 , P  2 , …, P  n , respectivamente, la varianza σ 2  de la variable aleatoria  X es:   σ 2  = (  x  1  – μ) 2  · P  1  + (  x  2  – μ) 2  · P  2  + … + (  x  n  – μ) 2  ·  P  n   Donde μ corresponde a la esperanza de la variable aleatoria  X  . ã La desviación estándar σ corresponde a la raíz cuadrada de la varianza. Determinar la media, varianza y desviación estándar de variables aleatorias discretas. Observa los siguientes cuadros que te permitirán recordar los prerrequisitos para activar tus conocimientos previos y resolver los ejercicios que se proponen en las páginas 282 y 283.  U ã Un ensayo de Bernoulli  es un experimento aleatorio en el que solo existen dos posibles resultados, usualmente identificados como éxito o fracaso, donde la probabilidad de éxito es  p  y la de fracaso es 1 –  p . ã Un proceso de Bernoulli  es un experimento aleatorio, que consiste en repetir, una cantidad finita de veces, un ensayo de Bernoulli. ã Si una variable aleatoria  X   cuenta el número de éxitos que se observan en un proceso de Bernoulli, con n  repeticiones, cada una con probabilidad de éxito  p , tenemos que:   P  (  X   =  x  ) = C   x n  ·  p  x   · (1 –  p ) n – x   con  x   = 0, 1, 2, ..., n . C   x n  corresponde a la cantidad de combinaciones de  x   elementos de un total de n .   En tal caso, se dice que la variable aleatoria  X   tiene  distribución binomial y se denota  X    ~   B ( n ,  p ). Su función de probabilidad está dada por  f  (  x  ) = C   x n  ·  p  x   (1 –  p ) n – x  , con  x   = 0, 1, 2, …, n . Usar la distribución binomial para analizar situaciones o experimentos. ã Población: es el conjunto de elementos del que queremos estudiar alguna de sus características. ã Muestra: es un subconjunto de la población que estudiamos. ã Dada una población con n  elementos, se puede determinar la cantidad de muestras de tamaño k  que se pueden extraer de dicha población, de la siguiente manera:  - Si es sin reposición, la cantidad de muestras es C   x n  = n ! k ! ( n  – k )! , donde n ! es el factorial de n , es decir, n ! = 1 · 2 · 3 · ... · n .  - Si es con reposición, la cantidad de muestras es ( n  + k  – 1)! k !( n  – 1)! . ã La media muestral es el promedio de los valores de la muestra. ã Si a partir de una población con n  elementos se extrae una muestra de tamaño k , la media poblacional μ se puede estimar a partir de la media muestral  x  . La estimación es más precisa si k  se acerca al valor de n , es decir, si el tamaño de la muestra aumenta. Emplear elementos básicos del muestreo aleatorio simple para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.  C uánto sé?    Antes de comenzar, resuelve las siguientes actividades, que te permitirán recordar conceptos y procedimientos necesarios para abordar los contenidos de esta unidad. 1. En el experimento “escoger al azar una persona en la calle” se define la variable aleatoria  X  : edad de la persona , medida en años. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento y determina los posibles valores que esta puede tener. 2. En el experimento “lanzar dos dados”, considera las variables aleatorias  X  : suma de los puntos , e Y  :  puntaje menor entre los dos dados . a. Describe el espacio muestral del experimento. b. Calcula las probabilidades P  (  X = 7), P  (  X < 7), P  ( Y = 3), P  ( Y > 2). 3. En el experimento “escoger una persona en la calle”, se define la variable aleatoria  X  : estatura de la persona. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento. c. Explica con tus palabras qué es una variable aleatoria. 4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. La esperanza siempre es un valor positivo. b. La desviación estándar siempre es un valor positivo. c. La esperanza de una muestra siempre es uno de los valores de la muestra. d. La esperanza siempre es mayor que la varianza. e. La varianza siempre es mayor que la esperanza. 5. Si  X   es una variable aleatoria que tiene distribución  X    ~ B (10; 0,7), determina: a. μ b. σ 2 c. P(X   = 8) d. P(X < 3) e. P  (  X   < 5) f. P  (  X   > 5) 6. Si  X   ~ B ( n ,  p ), con μ  = 12 y σ  = 3, determina: a. n b.  p c. P  (  X   < 14) d. P  (  X   = 1) e. P  (  X   < 5) f. P  (  X   > 5) 7. Considera los siguientes resultados de un experimento aleatorio.{1,70; 1,67; 1,72; 1,82; 1,72; 1,73; 1,65; 1,77; 1,66; 1,67; 1,65} a. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar de los datos. b. Dibuja una tabla de frecuencias indicando: frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. c. ¿A qué experimento aleatorio puede corresponder esta muestra?, ¿cuál sería la variable aleatoria? 8. Considere los siguientes resultados de un experimento aleatorio.  A = {1, 7, 7, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 5, 1, 2} B = {4, 3, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4} a. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué muestra consideras tú que tiene mayor desviación estándar?, ¿cómo llegaste a esa conclusión? b. Si tanto la muestra  A  como la muestra B  corresponden a notas de dos alumnos distintos, ¿qué estudiante tuvo mejor rendimiento?, ¿por qué? c. Agrega tres valores a la muestra  A , que no cambien la media de la muestra. 9. Una ruleta de casino tiene 36 números, un 0 y un 00. Si apuestas un número y la bolita cae en ese número, ganas 36 veces lo que apostaste. ¿Cuánta es la cantidad que puedes ganar si apuestas 100 pesos?, ¿conviene jugar a la ruleta? Justifica tu respuesta.  U Revisa tus respuestas en el solucionario y marca las correctas.Si tuviste errores, revisa las páginas 280 y 281 del Texto, aclara tus dudas y corrígelos antes de continuar.   CriterioÍ tems Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad.1, 2 y 3Determinar la esperanza, varianza y desviación estándar de variables aleatorias discretas.4, 7 y 8Usar la distribución binomial para analizar situaciones o experimentos.5, 6, 9, 10 y 11Emplear elementos básicos del muestreo aleatorio simple para inf erir sobre la media de una población finita12, 13 y 14 10. Manuel juega al siguiente juego: saca un naipe al azar de una baraja inglesa sin comodín (52 cartas, 13 números, 4 pintas). Si sale un 2, 3, 4 o 5, Manuel gana 5 puntos; si sale un 6, 7, 8, 9 o 10, Manuel pierde 5 puntos; si sale J, Q o K, no gana nada, y si sale un As, gana 20 puntos. a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b. ¿Cuál es la variable aleatoria asociada al juego? c. Encuentra el “valor esperado” de puntos que ganará Manuel cada vez que juegue. 11. Una fábrica de ampolletas tiene estimado que el 5 % de sus ampolletas llega defectuosa a las tiendas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar 2 ampolletas, ambas salgan quemadas? b. Si las ampolletas vienen en cajas de 20 unidades, ¿cuál es el valor esperado de ampolletas defectuosas que vienen en una caja? 12. A partir de los siguientes datos, desarrolla las actividades.{1, 2, 6, 7, 9, 11, 4, 6, 15, 21} a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden seleccionarse del conjunto anterior? b. Selecciona 5 muestras al azar de tamaño 2 y calcula la media de ellas. Marca la opción correcta en los ítems 13 y 14.13. Indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas respecto de la media de una muestra. I. Es posible agregar datos a una muestra sin que cambie la media. II. El único valor que se puede añadir a una muestra, sin que se altere la media, es el 0. III. Si m  es el valor de la media y agregas ese valor a la muestra, se mantiene la media de la muestra. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo II y III D. Solo I y III E. I, II y III 14. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 pueden extraerse con los siguientes datos con y sin reposición, respectivamente? {4, 8, 4, 6, 1, 2, 6, 7} A. 6 561 y 336 B. 512 y 336 C. 20 160 y 6 561 D. 20 160 y 336 E. 6 561 y 512
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