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www.matematicadenoveno.weebly.com FACTORIZACIÓN 9º MISCELANEA DE FACTORIZACIÓN El siguiente resumen nos proporcionará una idea más clara de cómo identificar los diferentes casos de factorización. 1. Factor Común Monomio: La expresión a factorizar puede tener dos o más términos, en la que todos tienen un factor en común (numérico y/o literal) que se repita. Ejemplos: a) 3 + 6m + 12m2 = 3 (1 + 2m + 4m2) 2 2
  www.matematicadenoveno.weebly.com FACTORIZACIÓN 9º   Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 33   MISCELANEA DE FACTORIZACIÓN El siguiente resumen nos proporcionará una idea más clara de cómo identificar los diferentes casos de factorización. 1. Factor Común Monomio:  La expresión a factorizar puede tener dos o más términos, en la que todos tienen un factor en común (numérico y/o literal) que se repita. Ejemplos:  a) 3 + 6m + 12m 2   =  3 (1 + 2m + 4m 2 ) b) 8x 2 y  –   4xy 2   =  4xy (2x  –   y) 2. Factor Común Polinomio:   La expresión a factorizar debe tener más de dos términos, en la que todos tienen un polinomio (entre paréntesis) como factor común. Ejemplos:  a) a(m + n)  –  b(m + n) =  (m + n)(a  –  b) b) 3x(x + y  –  z)  –  x  –  y + z =  3x(x + y  –  z)  –  (x + y  –  z) =  (x + y  –  z)(3x  –  1) 3.   Factor Común por Agrupación de Términos: Este tipo de expresión debe tener 4 o más términos (aumentando de 2 en 2), se agrupan en igual cantidad de términos, de tal forma que haya factor común entre ellos.  Ejemplos: a) x 3  + x 2  + x + 1 =  (x 3  + x 2 ) + (x + 1) =  x 2 (x + 1) + (x + 1) =  (x + 1)(x 2  + 1) 4.   Diferencia de Cuadrados Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos separados por el signo de menos (  – ) y ambos términos tienen raíz cuadrada exacta .  Ejemplos: a) x 2    –   16 =  (x + 4)(x  –   4)  b) 25a 4    –   81b 2   =  (5a 2  + 9b)( 5a 2    –   9b) 5.   Suma de Cubos Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos separados por el signo de más ( + ) y ambos términos tienen raíz cúbica exacta .    www.matematicadenoveno.weebly.com FACTORIZACIÓN 9º   Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 34   Ejemplos: a) x 3  + 125 =  (x + 5)(x 2    –   5x + 25)  b) 27a 9  + 8b 6   =  (3a 3  + 2b 2 )( 9a 6    –   6a 3  b 2  + 4b 4 ) 6.   Diferencia de Cubos Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos separados por el signo de menos (  – ) y ambos términos tienen raíz cúbica exacta .  Ejemplos: a) x 3    –   64 =  (x  –   4)(x 2  + 4x + 16)  b) 27a 3    –   8b 3   =  (3a  –   2b)( 9a 2  + 6ab + 4b 2 ) 7.   Trinomio Cuadrado Perfecto:   Una vez ordenado el trinomio descendentemente, el primero y último términos deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta. El segundo término es el doble producto de estas raíces cuadradas .  Ejemplos: a)   x 2  + 10x + 25 =  (x + 5) 2   b)   4m 2    –   20mn + 25n 2   =  (2m  –   5n) 2   8.   Trinomio de la Forma x 2  + b x + c  : El primer término debe ser una letra elevada al cuadrado y con coeficiente uno (1), el segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente uno y coeficiente cualquiera, positivo o negativo. El tercer término debe ser independiente de la letra, puede ser positivo o negativo .  Ejemplos: a) x 2  + x  –   72 = (x + 9)(x  –   8)  b) x 2    –   5xy  –   36y 2  = (x  –   9y)(x + 4y) >> Caso Especial << 9.   Trinomio de la Forma a x 2  + b x + c  : El primer término debe ser una letra elevada al cuadrado y con coeficiente distinto de uno (1), el segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente uno y coeficiente cualquiera, positivo o negativo. El tercer término debe ser independiente de la letra, puede ser positivo o negativo .   a) 15x 2    –   11x  –   12 = (3x  –   4)(5x + 3)  b) 20x 6  + 7x 3 y  –   6y 2  = (4x 3  + 3y)(5x 3    –   2y) >> Caso Especial <<    www.matematicadenoveno.weebly.com FACTORIZACIÓN 9º   Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 35   La Factorización  es el procedimiento utilizado para descomponer una expresión algebraica en factores primos. Es decir, que se utiliza para expresar un polinomio como un producto de otros polinomios. No todos los polinomios se pueden descomponer en factores primos. CASOS FORMA y DESARROLLO FACTOR COMÚN MONOMIO 2 ó más términos  3ax + 12bx + 21cx    = 3x(a + 4b + 7c) Factor común monomio: 3x FACTOR COMÚN POLINOMIO 2 ó más términos (x  –   a)(y + z) + b(y + z) = (y + z)(x  –   a + b) Factor común polinomio: (y + z)   FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN 4 ó más términos am + ax + bm + bx + cm + cx = (am + bm + cm) + (ax + bx + cx) agrupando  = m(a + b + c) + x(a + b + c)  factor c. monomio  = (m + x)(a + b + c)  factor c. polinomio DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 2 términos  x   2    –   b  2  = (x + b)(x  –   b)   SUMA DE CUBOS PERFECTOS 2 términos m  3  + n  3  = (m + n)(m 2    –   mn + n 2  )   DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 2 términos  x   3    –   y   3  = (x  –   y)(x 2  + xy + y 2  )   TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 3 términos a  2  + 2ax + x   2  = (a + x) 2   a  2    –   2ax + x   2  = (a  –   x) 2   TRINOMIO DE LA FORMA:  x   2  + bx + c 3 términos  x   2  + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)   x   2    –   19x  –   20 = (x  –   20)(x + 1)   TRINOMIO DE LA FORMA: ax   2  + bx + c 3 términos  3x   2    –   17x + 20 = (3x − 5)(x − 4)   3x − 5 − 5x   x −4 − 12x   −17x     TABLA DE CASOS DE FACTORIZACIÓN  www.matematicadenoveno.weebly.com FACTORIZACIÓN 9º   Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 36   PRÁCTICA 13  MISCELANEA. Identifique y resuelva los siguientes casos de factorización.   INDICACIONES : Coloque en la línea que antecede a cada ejercicio, las letras que corresponden al nombre del caso de factorización dado. Luego en su cuaderno, resuelva los mismos aplicando las reglas correspondientes . PA Factor Común Monomio HE Diferencia de Cuadrados Perfectos NA Factor Común Polinomio RR Suma de Cubos perfectos MA Factor Común por Agrupación de Términos RE Diferencia de Cubos Perfectos GA Trinomio Cuadrado Perfecto RA Trinomio de la Forma x + b x + c    NO Trinomio de la Forma a x + b x + c 1. ____ 5m 2   − 16m   − 45  2. ____ 1 + 49a 2    –  14a 3. ____ 100m 2 n 4    –  169y 6  4. ____ x 2  + 6x  –  216 5. ____ 8a 3  + 27b 6  6. ____ 3x 2   11x + 6  7. ____ 1  –  27a 3 b 3  8. ____ 6m 2  + 23m + 21 9. ____ a 6  + 125b 12  10. ____ 35n 2  + 12n   32 11. ____ x + z 2    –  2ax  –  2az 2  12. ____ (a + b)( a  –  b)  –  (a  –  b)(a  –  b) 13. ____ 24n 2  + 29n   63 14. ____ x 2    –  2x  –  xy + 2y 15. ____ 9m 6  + 16n 10  + 24m 3 n 5  16. ____ 10m 2 n 3  + 14m 3 n 2    –  6mn 2  17. ____ 12x 2     x   6 18. ____ a(a  –  b) + 4b(a  –  b)  –  3a(a  –  b) 19. ____ x 2  + 8x  –  180 20. ____ a 6    –  9b 2  21. ____ 6x 2  + x   7 22. ____ 18mxy 2    –  54m 2 x 2 y 2  + 36my 2  23. ____ x 12    –  216y 9  24. ____ 15m 2  + 11m  –  14 25. ____ 2x 2  + 2x 26. ____ 3m 2   m   10   27. ____ 2x (a  –  1 )  –  a + 1 28. ____ 15m 2   8 m   12 29. ____ 1 + 18ab + 81 a 2 b 2  30. ____ 49x 2    –  77x + 30 31. ____ 9x 2    –  6xy + y 2  32. ____ 2xy  –  6y + xz  –  3z 33. ____ x 2    –  3x  –  4 34. ____ 4m 2 n + 12m 2 x  –  5bn  –  15bx 35. ____ 12y 2   8y   15 36. ____ 5m 2  + m 37. ____ 20n 2     7n   40  38. ____ 100x 4 y 6    –  121m 4  39. ____ x 2    –  x  –  30 40. ____ 1  –  4b + 4b 2  41. ____ 3m 2   − 17m + 22  42. ____ 9x 2 y 2    –  27x 3 y 3    –  9x 5 y 3     “ Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura”.  Bertrand Russell  
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